Wie het heeft over de taal van de natuurkunde denkt onvermijdelijk in de eerste plaats aan wiskunde. Het is de wiskunde die de natuurkunde maakt tot een waarlijk exacte wetenschap. Dit wiskundige karakter van de fysica resulteert niet alleen in een uiterst precieze en eenduidige beschrijving van tal van natuurverschijnselen, maar ook in een wonderlijk vermogen tot nauwkeurige en correcte voorspellingen.

Dat de natuur zich zo goed laat vangen in wiskundige formuleringen is allerminst vanzelfsprekend. Het wijdverbreide geloof dat dit voor alle onderdelen van de natuurkunde geldt, is dan ook van tamelijk recente datum. Dat roept de vraag op hoe – en wanneer – deze mathematisering van de natuurkunde zich voltrokken heeft. Maar mogelijk ook waarom het zo lang duurde voordat de grote betekenis die wiskunde kan bezitten voor de natuurkunde doordrong binnen het vakgebied.

Gemengde wiskunde

Het probleem met bovenstaande vragen is dat ze veelal gebaseerd lijken op een tijdloze notie van het begrippenpaar 'wiskunde' en 'natuurkunde'. Het is daarom belangrijk allereerst te benadrukken dat wiskunde (mathematica) en natuurkunde (fysica) eeuwenlang een geheel andere betekenis hadden dan de huidige en ook gepaard gingen met heel andere praktijken.

Zo gold wiskunde lange tijd als de wetenschap van maat en getal. Alles waaraan je kunt meten en rekenen, maakte automatisch deel uit van de wiskunde. In de praktijk hielden klassieke wiskundigen in de oudheid en lang daarna zich vooral bezig met meetkunde, rekenkunde (aritmetica), sterrenkunde, muziektheorie en optica.

Die laatste drie werden later ook aangeduid als 'gemengde wiskunde', omdat hier sprake was van een vermenging van wiskunde met de natuur. Een klassiek wiskundige als Claudius Ptolemaeus hield zich met al deze vormen van gemengde wiskunde bezig en maakte tegelijkertijd ook aardrijkskunde tot een tak van wiskunde door de aarde te bedekken met een wiskundig raster van lengte- en breedtegraden.

Klassieke wiskundigen als Claudius Ptolemaeus hielden zich veel bezig met 'gemengde wiskunde': sterrenkunde, muziektheorie, optica en aardrijkskunde.

Gemengde wiskunde bleef lang een belangrijk onderdeel van de wiskunde, iets wat pas veranderde met de definitieve doorbraak van de zuivere wiskunde in de negentiende eeuw. Begin negentiende eeuw nog besteedde Europa's toonaangevende wiskundige, Friedrich Gauss, het overgrote deel van zijn tijd aan sterrenkunde, aardmagnetisme, geodesie en de verbetering van maten en gewichten. Nu geldt veel van deze wiskunde als toegepaste wiskunde, en die bevindt zich niet langer in het hart van het vakgebied, maar veeleer aan de marges.

Friedrich Gauss ging de geschiedenis in als wiskundige, maar was van 1807 tot zijn dood in 1855 hoogleraar sterrenkunde en directeur van de hier afgebeelde sterrenwacht in Göttingen. Foto: Patrick Hessman/CC BY-SA 3.0

Geleidelijk ontstonden na de klassieke oudheid ook nieuwe vormen van wiskunde. Voortbouwend op hun Griekse (en Indiase) voorgangers ontwikkelden islamitische geleerden nu bekende takken van wiskunde als goniometrie en algebra. En met name in de renaissance vinden we in Europa tal van meer praktische vormen van wiskunde. Sommige daarvan vinden we ook al in de oudheid: denk aan werktuigkunde (mechanica), architectuur en landmeetkunde. Nieuw waren perspectiefleer, boekhouden, navigatietheorie, vestingbouw en de studie van kogelbanen. Die laatste tak van wiskunde zou in de handen van wiskundigen als Galilei, Huygens, Newton en Euler uitgroeien tot een alomvattende bewegingsleer.

Boedelscheiding

De fysica zoals vormgegeven door Aristoteles hield zich met geheel andere zaken bezig. Fysica of natuurfilosofie was eeuwenlang een onderdeel van de wijsbegeerte, naast morele filosofie of ethica en metafysica. In deze natuurfilosofie ging het bovenal om het verklaren van de natuurverschijnselen, dat wil zeggen om kennis van hun oorzaken. Dat waren veelal de vormoorzaken en de doeloorzaken die het gedrag van natuurlijke objecten bepalen. De vormoorzaken zijn al die eigenschappen die een bepaalde substantie kenmerken. Het meest interessant voor de filosoof zijn de eigenschappen die essentieel zijn voor de aard van een substantie, ofwel al datgene dat iets maakt tot wat het is.

Zo bestaat een steen voornamelijk uit het element aarde, dat zijn natuurlijke plaats kent in het midden van de wereld, waar het indien mogelijk naar toe zal bewegen. Dat verklaart waarom losgelaten stenen in een rechte lijn omlaag bewegen. Om dat te begrijpen, kunnen we bijkomstige ('accidentele') eigenschappen van de steen verder buiten beschouwing laten. Denk aan de kleur, de vorm of de warmte van de steen, maar ook aan meetbare eigenschappen als de grootte en het gewicht.

In de fysica zoals vormgegeven door Aristoteles (hier tegenover zijn leermeester Plato) ging het vooral om kennis van de oorzaken van natuurverschijnselen. Foto: Yair Haklai/CC BY-SA 4.0

En hier zit de crux van de klassieke boedelscheiding tussen natuurfilosofie en wiskunde. De gemengde wiskunde houdt zich primair bezig met accidentele eigenschappen, nuttig voor allerhande praktische zaken, maar voor de ware filosoof oninteressant. Filosofie gold als de meer prestigieuze wetenschap; wiskunde bezat in de regel een lagere status, zowel wetenschappelijk als sociaal. Immers, ook eenvoudige ambachtslieden maakten gebruik van wiskunde. Wiskunde werd daarbij gezien als veeleer beschrijvend dan verklarend en ook daarom van weinig nut voor de filosoof.

Een uitzondering op deze regel vormde het gedachtegoed van de pythagoreeërs, die de essentie van de werkelijkheid zochten in getallen en harmonische getalverhoudingen, ofwel in wiskunde. Hun invloed is nog zichtbaar in Plato's boek Timaios, maar door de toenemende dominantie van de aristotelische natuurfilosofie vonden dergelijke ideeën nauwelijks weerklank in de middeleeuwse universiteiten.

Praktisch karakter

Het scherpe onderscheid tussen wiskunde en fysica komt helder naar voren in de studie van de hemelen, het meest verheven deel van de natuur. Natuurfilosofen bogen zich over de vraag naar de bouw van het hemelrijk – de volgorde van de hemelse sferen – en de oorzaken van de omwentelingen van die sferen. Bezaten die sferen een eigen bewegende ziel of werden zij wellicht voortbewogen door engelen?

Wiskundigen daarentegen ontwierpen wiskundige modellen, bestaande uit combinaties van cirkelbewegingen, waarbij de planeten bewogen langs kleine bijcirkels (epicykels) waarvan de middelpunten weer bewogen langs excentrische draagcirkels. Excentrisch, omdat het middelpunt van de draagcirkels niet samenviel met het middelpunt van de wereld, waar zich de aarde bevond.

Dat de natuurfilosofische en de wiskundige visies op de planetenbeweging met elkaar streden, werd in de regel niet als een probleem beschouwd. Wiskunde levert je algoritmes waarmee je voorspellingen kunt doen, natuurfilosofie geeft je de fysische werkelijkheid en in het bijzonder oorzakelijke verklaringen. Zoals de geleerde Osiander later in het voorwoord van Copernicus' boek De revolutionibus orbium coelestium (Over de omwentelingen van de hemelse sferen, 1543) zou schrijven, hoefden deze modellen niet waar te zijn of zelfs waarschijnlijk. Als zij maar voorzagen in correcte voorspellingen was dat afdoende. Niemand geloofde immers dat planeten daadwerkelijk bewegen langs de bijcirkels waarvan ook Copernicus ruimschoots gebruikmaakte.

Deze instrumentalistische houding onderstreept het praktische karakter van de wiskunde. Het boek van Copernicus werd dan ook al spoedig gebruikt voor het maken van verbeterde astronomische tabellen en voor pogingen om de kalender te verbeteren, een oude kerkelijke wens. Het onderliggende nieuwe wereldbeeld werd doorgaans genegeerd.

Verheven positie

Deze traditionele boedelscheiding begon te veranderen in de vroege zeventiende eeuw. Dat had vermoedelijk te maken met twee factoren. Enerzijds de sociale stijging van een aantal ambachten die veel gebruikmaakten van wiskunde: militaire ingenieurs, architecten en kunstenaars. Zij vonden in de renaissance hun weg naar vorstelijke hoven en verloren daarbij hun traditionele anonimiteit. Minstens zo welkom waren astronomen, die, aangesteld als hofwiskundige, hun vorst konden voorzien van astrologische adviezen.

Een tweede factor was de plotselinge opkomst van het neoplatonisme. Daarin leefde de oude pythagoreïsche traditie deels voort, in het bijzonder de gedachte dat wiskundige harmonieën ten grondslag liggen aan onze fysische wereld. Die gedachte dempte de kloof tussen wiskunde en natuurkunde.

Het is hoe dan ook geen toeval dat het aanvankelijk wiskundigen waren die in het begin van de zeventiende eeuw stelden dat wiskunde buitengewoon relevant was voor de natuurfilosofie. Zij hadden het meest te winnen bij een versmelting van deze vakgebieden. Daarbij misten natuurfilosofen doorgaans de benodigde wiskundige vaardigheden en de bereidheid hun verheven positie ten opzichte van wiskundigen op te geven.

Een van de vroege wiskundigen die stelden dat hun vakgebied relevant was voor de natuurfilosofie was de jezuïet Christophorus Clavius. Illustratie: Francesco Villamena

Onder die vroege wiskundigen met natuurkundige ambities treffen we bekende namen als Kepler en Galilei, maar ook Christophorus Clavius, de belangrijkste wiskundige van het Collegium Romanum, de prestigieuze jezuïetenopleiding in Rome. Latere voorbeelden van wiskundigen die hun vizier steeds meer op de natuurfilosofie gingen richten zijn Descartes, Huygens en natuurlijk Newton.

Nieuwe fusie

Bij Kepler manifesteert de pythagoreïsch-platonische traditie zich in volle glorie. Evenals de platonici meende hij dat de platoonse wereldziel alle hemelse bewegingen veroorzaakt en in het voetspoor van de Italiaanse renaissancegeleerden identificeerde hij die wereldziel met de zon. En zoals ook Copernicus eerder al had opgemerkt: de beste plek voor de bron van alle kosmische activiteit is het middelpunt van de wereld.

Kepler werd gesterkt in zijn platonisme door zijn vroege 'ontdekking' dat de afstanden van de opeenvolgende hemelse sferen tot de zon werden bepaald door de vijf regelmatige veelvlakken, zoals geboekstaafd in zijn Mysterium Cosmographicum (1596). Het waren dezelfde veelvlakken die Plato in zijn Timaios had geïdentificeerd met de ultieme bouwstenen van de materiele wereld. De diepgelovige Kepler zag God als een verheven wiskundige en het zoeken naar het wiskundige bouwplan van de wereld dan ook als een religieuze missie.

Vanwege zijn platonisme kon Kepler de scheiding tussen wiskunde en natuurfilosofie niet accepteren. Hoewel hij een vurig Copernicaan was, verwierp hij alle op gecombineerde cirkelbewegingen gebaseerde wiskundige modellen, dus ook die van Copernicus zelf. Die bezaten geen fysische realiteitswaarde en waren in zijn ogen niet verklaarbaar uit natuurkundige oorzaken.

Johannes Kepler ‘ontdekte’ dat de afstanden van de opeenvolgende hemelse sferen tot de zon werden bepaald door de vijf veelvlakken die Plato had geïdentificeerd met de ultieme bouwstenen van de materiële wereld.

Dat resulteerde uiteindelijk in een breuk met de cirkelbeweging en een introductie van de ellipsbaan. Die kon hij – anders dan de versmade bijcirkels – fysisch verklaren door een combinatie van de asrotatie van de zon en de magnetische filosofie van de Engelse geleerde William Gilbert. De titel van zijn resulterende boek verraadt onmiddellijk de nieuwe fusie van wiskunde en natuurfilosofie: Astronomia nova sive physica coelestis. De "nieuwe sterrenkunde" in de titel suggereert een wiskundeboek, de "hemelse fysica" een werk over natuurfilosofie.

Eenzelfde overtuiging vinden we bij Galilei. Toen hij zijn positie als hoogleraar wiskunde in Padua en werktuigkundig adviseur in het arsenaal in Venetië inruilde voor die van hofwiskundige in Florence, stond hij erop dat hij tevens als hoffilosoof zou worden aangesteld. In zijn boek Il Saggiatore (De keurmeester, 1623) benadrukte hij expliciet dat het filosofische boek der natuur geschreven is in de taal van de wiskunde en dat, bij gevolg, het boek niet werkelijk begrepen kan worden zonder kennis van die taal. Dat was een regelrechte diskwalificatie van de meeste natuurfilosofen in zijn tijd.

Overigens had de nuchtere Galilei niets met het wat mystieke platonisme van Kepler. Diens opvatting dat de getijden veroorzaakt werden door een geheimzinnige magnetische aantrekking van het oceaanwater door de maan vond hij ronduit bespottelijk. De enige rationele verklaring – tevens bewijs voor het copernicanisme – was de dubbele beweging van de aarde. Die leidde tot het heen en weer klotsen van het water in de oceaanbekkens. Anders dan Kepler dacht Galilei als een ingenieur.

Grillige verschijnselen

Het belang van de wiskunde voor de natuurfilosofie spreekt direct uit de titel van Newtons hoofdwerk Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Wiskundige beginselen van de natuurfilosofie, 1687). Maar toen Newton werd aangevallen op het centrale principe van het werk, de raadselachtige aantrekking tussen (ver) van elkaar verwijderde brokjes materie, verdedigde hij zich met het argument dat hij 'aantrekking' bedoelde in wiskundige zin en niet in natuurkundige zin. Anders gezegd: het ging hier om een wiskundig afgeleid verschijnsel waarvan de fysische oorzaak nog onduidelijk was. Over die oorzaak wilde hij liever niet speculeren.

Tijdgenoten als Huygens en Leibniz vonden die magische werking op afstand hoe dan ook absurd en onacceptabel. Die paste niet binnen het moderne mechanistische natuurbeeld, dat inmiddels zowel het aristotelische als het platonische natuurbeeld had vervangen. Zoals Huygens verzuchtte in een brief over Newtons werk aan de Franse wiskundige Guillaume de l'Hôpital, kwam het maar zelden voor dat men wiskunde kon toepassen binnen de natuurfilosofie. En zelfs dan bleek het moeilijk om het op een geëigende manier te doen.¹

In Europa voegde de architectuur zich - opnieuw - bij de wiskunde. Foto: Sailko/CC BY-3.0

Huygens' eerste constatering is een belangrijke. Eind zeventiende eeuw waren nog maar weinig natuurlijke verschijnselen in een wiskundige vorm gegoten. Optica, muziektheorie en sterrenkunde waren altijd al onderdelen van de wiskunde en in de renaissance was daar de bewegingsleer (mechanica) bij gekomen. Dit waren niet toevallig de onderwerpen waar Kepler, Galilei, Huygens en Newton zich bij voorkeur op toelegden. Halverwege de achttiende eeuw achtte de grootste deskundige op het gebied van het nieuwe onderzoeksgebied van de elektriciteit, de Fransman Jean-Antoine Nollet, het onwaarschijnlijk dat deze notoir grillige verschijnselen zich ooit in wiskundige termen zouden laten vatten. Dergelijke scepsis werd breed gedeeld onder de geleerden in die tijd en dat gold zeker niet alleen voor elektrische verschijnselen.

Al te wiskundig

Intussen begon door de opkomst van het experiment de natuurkunde zich te versmallen tot proefondervindelijke natuurkunde. Niet alle natuurverschijnselen leenden zich evenzeer voor proefondervindelijke demonstraties. Levensverschijnselen vielen het eerst buiten boord, gevolgd door tal van andere delen van de natuurfilosofie, zodat deze zich steeds meer beperkte tot het gedrag van lucht en vloeistoffen en verschijnselen op het gebied van warmte, licht, elektriciteit en magnetisme. Eind achttiende eeuw slaagden natuurfilosofen er steeds beter in om kwantificeerbare begrippen en bijpassende meetinstrumenten te ontwikkelen binnen deze gebieden. Dat maakte het terrein rijp voor wiskundige interventies.

In de negentiende eeuw begonnen briljante jonge Franse wiskundigen als Joseph Fourier, Siméon Poisson en André-Marie Ampère, onder aanvoering van Pierre-Simon Laplace, de proefondervindelijke natuurkunde te onderwerpen aan een regime van partiële differentiaalvergelijkingen.² Dat leidde tot gemengde reacties onder natuurkundigen. Enkele pioniers zoals Georg Ohm, Franz Neumann en Wilhelm Weber in Duitsland en later William Thomson (de toekomstige Lord Kelvin) en James Clerk Maxwell in Schotland namen deze aanpak over, veelal onder invloed van sterrenkundigen.³ Maar tal van natuurkundigen bleven er met een grote boog omheen lopen. Toonaangevende fysici als Michael Faraday in Engeland, Johann Christian Poggendorff en Heinrich Gustav Magnus in Duitsland, en Pieter Rijke in Nederland moesten er weinig of niets van hebben. Poggendorff weigerde in de regel al te wiskundige artikelen op te nemen in zijn Annalen der Physik. Faraday merkte op dat zijn wiskundige onbeholpenheid zijn ongeëvenaarde reeks ontdekkingen niet in de weg had gestaan. Fysische intuïtie was in hun ogen belangrijker dan wiskundige virtuositeit.

In de negentiende eeuw weigerde de vooraanstaande natuurkundige Johann Christian Poggendorff nog al te wiskundige artikelen op te nemen in zijn Annalen der Physik.

Maar uiteindelijk legden dergelijke natuurkundigen het af tegen hun wiskundig beter onderlegde vakbroeders. In de tweede helft van de eeuw maakten ontdekkingen steeds meer plaats voor precisiemetingen in daartoe speciaal uitgeruste laboratoria en dienden die metingen steeds vaker als toets van in wiskundige vorm gegoten theorieën. Natuurfilosofie transformeerde aldus in de moderne fysica zoals wij die vandaag de dag kennen en die ondenkbaar is zonder de taal van de wiskunde. Zelfs na de verregaande verzelfstandiging van de theoretische fysica rond 1900 kunnen experimentele fysici dat gegeven niet ongestraft negeren.

Verschuivend zwaartepunt

Anders dan veelal gedacht kwam de geleidelijke mathematisering van de natuurkunde niet primair voort uit initiatieven van natuurkundigen (natuurfilosofen) zelf. Het waren bovenal wiskundigen die zich steeds meer over de natuurkunde gingen ontfermen. Dat gebeurde in de zeventiende eeuw, in het begin van de negentiende eeuw en later weer in het begin van de twintigste eeuw.⁴ Die herhaalde wiskundige interventies zorgden uiteindelijk wel voor een onstuitbare opmars van de wiskunde binnen de natuurkunde.

Toen in de negentiende eeuw het zwaartepunt binnen de wiskunde verschoof naar (deels nieuwe) vormen van zuivere wiskunde en veel wiskundigen hun eeuwenoude belangstelling voor gemengde (inmiddels: toegepaste) wiskunde verloren, gingen steeds meer natuurkundigen de rol van wiskundigen in de mathematisering van natuurverschijnselen overnemen. Zij waren zo succesvol in hun pogingen dat wij inmiddels geneigd zijn het wiskundig karakter van de natuurkunde als een vanzelfsprekend en (bijna) tijdloos verschijnsel te zien. Veel van wat wij nu als vroegere natuurkunde menen te herkennen, zou in vroegere tijden echter gerekend worden tot de (gemengde) wiskunde. Onze hardnekkige gewoonte om vroegmoderne wiskundigen als Galilei en Newton zonder meer aan te duiden als natuurkundigen (wat zij, toegegeven, in latere instantie óók pretendeerden te zijn) heeft dan ook iets anachronistisch. Ook hier geldt weer het gevleugelde woord van L.P. Hartley: “The past is a foreign country; they do things differently there.”⁵

Frans van Lunteren is hoogleraar geschiedenis van de natuurwetenschappen aan de Universiteit Leiden en de Vrije Universiteit Amsterdam.

REFERENTIES

1. Lunteren, F. van, Framing Hypotheses: Conceptions of Gravity in the Eighteenth and Nineteenth Centuries, dissertatie Utrecht (1991).
2. Heilbron, J., Weighing Imponderables and Other Quantitative Science around 1800, University of California Press (1993).
3. Lunteren, F. van, Natuur- en sterrenkunde in de negentiende eeuw: leerling en meester?, NTvN 86, no. 11, pp. 12-15 (2020).
4. Lunteren, F. van, Hoe een handvol wiskundigen de theoretische fysica ingrijpend veranderde, NTvN 90, no. 9, pp. 32-35 (2024).
5. De openingszin van zijn roman The Go-Between (1953).

Een goed overzicht van de veranderende relatie tussen wiskunde en natuurfilosofie is Edward Grant, A History of Natural Philosophy: From the Ancient World to the Nineteenth Century, Cambridge University Press (2007).