Het is grappig dat we nu pas een themanummer maken over natuurkunde en taal, want ik heb nog nooit een fysicus ontmoet die werkt zonder woorden. Taal is symbolisch, dus zeer geschikt voor het weergeven van begrippen. Immers, de oneindige oneindigheid van 'alles wat gebeurt' is zo overstelpend dat een samenvatting – hoe korter, hoe liever – onvermijdelijk is in de omgang met het Heelal. Niet alleen voor H. sapiens: de merel die tsjik-tsjik-tsjik alarm slaat is al symbolisch bezig. Van daar naar de algemene relativiteitstheorie is nog wel een eindje te gaan, maar toch: het begin is er.

Humpty Dumpty

Een natuurkundige theorie wordt al sinds Archimedes vastgelegd in wiskunde. Die theorieën werden ooit beschreven in taal, en pas later ook met meetkunde, zoals de breking van het licht door Ibn Sahl of de wetten van Kepler, en in de formule van Huygens voor de centrifugale versnelling. Pas daarna kwamen de algebra, groepentheorie, en zwaarder geschut.

Volgens mij is wiskunde een vorm van taal, maar geen natuurlijke taal omdat de wiskunde zo geconstrueerd is dat er geen dubbelzinnigheid optreedt. Het is zoals Humpty Dumpty sprak in Alice in Spiegelland: "Als ik een woord gebruik, betekent het precies wat ik bedoel, niet meer en niet minder." Dat maakt wiskunde uitermate bruikbaar als je precisie wilt zijn, en volstrekt onbruikbaar voor communicatie tussen mensen, zoals in het betreffende hoofdstuk blijkt.

Wij zijn er zo aan gewend dat alles algebraïsch wordt opgeschreven, dat wij ons niet meer realiseren dat wiskunde als taal begonnen is. Euclides formuleert stellingen in taal, zoals: "In rechthoekige driehoeken is het vierkant op de zijde die de rechte hoek opspant, gelijk aan de vierkanten op de zijden die de rechte hoek insluiten."

Gereedschap

Omdat wiskunde taal is, past het perfect in ons sapiensbrein, met dank aan Darwin. Het is dus redelijk effectief, en niet – zoals sommige fysici, met name Wigner, beweren –  onredelijk (zie ook dit artikel van Marcel Vonk, red.). Waarom het zo effectief is in de natuurkunde, en minder in bijvoorbeeld de biologie, komt volgens mij doordat levende materie uiterst complex is, vooral vanwege de terugkoppeling en divergentie die vervat is in de darwiniaanse evolutie. Natuurkundigen zijn zo sluw geweest om de eenvoudige dingen, zoals quanta en zwarte gaten, te bestuderen. Ingewikkelde dingen, zoals de bacterie en de aardworm, laten wij aan de biologen. Toch zijn er gebieden in de biologie waar wiskunde wel degelijk effectief is, bijvoorbeeld in de genetica.

Mede vanwege de beperkingen van onze geest, is het volstrekt begrijpelijk dat een bepaald soort wiskundig gereedschap voor fysisch verschillende verschijnselen wordt gebruikt. Als je eenmaal een hamer hebt uitgevonden, hoef je niet verbaasd te zijn dat-ie dient om een spijker in te slaan, en om een beitel aan te drijven, en een heipaal. Het is de toepassing die de waarde bepaalt, niet het gereedschap. Zoals de monteur zei: klap met een hamer kost een kwartje, weten waar te slaan 45 euro.

Trajectcontrole

Dat wiskunde taal is, ga ik aannemelijk maken door de bewegingsvergelijking van de klassieke mechanica te bouwen. Daarbij begin ik met de opmerking dat dingen bewegen met allerlei snelheden.

In deze uitspraak zijn snelheid, ruimte en tijd natuurkundewoorden. Maar er staat ook wiskunde in, namelijk 'is' en 'gedeeld door'. Dus die zin over snelheid kunnen we ook opschrijven als:

Dit symbool '=' is nu niet meer een vervoeging van het werkwoord 'zijn', maar het is een wiskundig exact gedefinieerde relatie. In de rekenkunde staan er dan links en rechts getallen. Vervolgens doen we hetzelfde met 'gedeeld door':

Het deelstreepsymbool is nu niet meer een uitdrukking die ruimte, tijd en snelheid met elkaar in verband brengt, maar een wiskundig exact gedefinieerde operatie. Zoals het er nu staat, is dit wat de politie op snelwegen een 'trajectcontrole' noemt: de afstand tussen twee punten delen door de tijd die een voertuig erover doet om die afstand af te leggen.

Versnipperd schilderij

Dat is een gemiddelde. Om de snelheid op één plaats en tijdstip te vinden, knippen we de beweging in kleine stukjes, volgens een methode bedacht door de Italiaanse wiskundige Bonaventura Cavalieri: je kunt het volume van een stuk kaas bepalen door de kaas in plakjes te schaven, het oppervlak van elk plakje te vermenigvuldigen met de dikte, en die op te tellen. Deze aanpak werd berucht door het werk van Banksy: een van zijn kunstwerken was net afgehamerd door de veilingmeester, toen het automatisch werd versneden tot een bundel slierten door een versnipperaar die in de schilderijlijst verborgen zat. Een verbluffende methode om de oppervlakte van een schilderij te bepalen.

De ruimte-tijdafstanden tussen begin en einde van de 'trajectcontrole' maken we willekeurig klein, waarbij we de tot nul gekrompen afstanden wiskundig noteren als differentie:

Hier staat nog steeds "snelheid is afstand gedeeld door tijd", maar nu in de vorm van een differentiaalvergelijking. Het is de snelheid die de politie meet met een flitser. Dit is wiskunde, dit is exact, maar dit is toch taal, ingekrompen totdat elk woord (hier in symboolnotatie om dat te benadrukken) exact een rol speelt en een betekenis heeft.

Diepe wortels

Vriendelijk dank aan de wiskunde, maar natuurkundig hebben we er nog weinig aan. Dat inzicht danken we aan Christiaan Huygens. Op blad 24 recto van zijn zevende bundel handschriften noteerde hij: 

Motus inter corpora relativus tantum est – de onderlinge beweging van voorwerpen is geheel relatief. Dus snelheid is net als plaats: je weet niet waar je bent, je weet ook niet hoe snel je gaat, tenzij ten opzichte van anderen. Een plaatsbepaling is relatief, en een snelheidsbepaling ook. Dus is er maar één ding dat we nog kunnen proberen om vat te krijgen op de beweging: de verandering van de snelheid, dat wil zeggen de versnelling.

Versnelling is de verandering van snelheid gedeeld door de verandering van tijd. Met Cavalieri: een stapje snelheid gedeeld door een stapje tijd. Als we de procedure volgen die ons de formule voor de snelheid v gaf, krijgen we de versnelling g in precies dezelfde vorm:

Daar is-ie dan: de bewegingsvergelijking van de klassieke mechanica. We moeten nog wel even specificeren wat de oorzaak van die versnelling is. Dat kan van alles zijn, maar hier beperk ik me tot de zwaartekracht: om de macht van het wiskundige woord eens extra in het zonnetje te zetten, doen we tot besluit nog even de algemene relativiteitstheorie. Dat heeft het bijkomende voordeel dat hierdoor de hele diepe wortels van de samenwerking tussen wis- en natuurkunde bijzonder goed te zien zijn.

Verrassing

Eerst nemen we nog een bladzijde Huygens, namelijk zijn afleiding van de formule voor de middelpuntvliedende versnelling. Galilei had laten zien dat beweging met constante versnelling een paraboolbaan oplevert. Huygens, een grootmeester in de meetkunde, wist dat de kromtestraal van de top van een parabool gelijk is aan de straal R van een cirkel, als R tweemaal de brandpuntsafstand van de parabool is. De snelheid v op die plaats is bekend dankzij Galilei, waarmee Huygens bewees dat de centrifugale versnelling op een baan met kromtestraal R gegeven wordt door

Hieruit leidde Huygens een overeenkomstige wet af voor de periode van een slinger met lengte R, als g de versnelling van de zwaartekracht is. Die paste hij praktisch toe in het ontwerp van zijn slingerklok. Maar tweehonderd jaar later bleek dat ons Heelal een verrassing in petto heeft:

De onderlinge beweging van voorwerpen is relatief, met uitzondering van het licht. De lichtsnelheid is absoluut, onder alle omstandigheden dezelfde. Licht kan niet stilstaan ten opzichte van een voorwerp, ook niet stilstaan ten opzichte van ander licht. Dus als het om de beweging van het licht gaat, moeten wij de formule voor de centrifugale versnelling aanpassen, en de snelheid v vervangen door de snelheid c van het licht:

Wiskundig gezien is dat precies dezelfde vorm als de centrifugaalwet van Huygens, maar omdat c invariant is, staat hier natuurkundig een totaal andere formule. De versnelling in de klassieke mechanica hangt af van twee grootheden: de snelheid v en de kromtestraal R van de baan. Voor het licht is de snelheid altijd gelijk aan c, dus de kromtestraal is de enige grootheid die bepaalt wat de bijbehorende versnelling is.

Onlosmakelijk verbonden

In de relativistische mechanica is er dus een vast verband tussen versnelling en baankromming. Anders gezegd (we gebruiken taal, nietwaar): de kromming van de ruimte komt overeen met een versnelling. Die heeft een naam: de versnelling van de zwaartekracht. Zwaartekracht is een historische term voor de gevolgen van de kromming van de ruimte.

Je ziet meteen dat in deze uitdrukking niets staat over de eigenschappen van datgene wat beweegt: niets over massa, lading, magneetveld, of wat dan ook. Daaruit volgt dat de beweging door tijd en ruimte, voor zover die bepaald wordt door de kromming, voor alles en iedereen dezelfde is. Dat levert uiteindelijk de verklaring van de uitkomst van de valproef die Simon Stevin in 1587 nam op de toren van de kerk in Delft: twee loden ballen, de ene tienmaal zwaarder dan de andere, tegelijk losgelaten op de torentrans, komen tegelijk op de grond aan. Versnelling en kromming zijn onlosmakelijk met elkaar verbonden. Anders gezegd (taal!): versnelling en de structuur van de ruimte zijn onlosmakelijk met elkaar verbonden. Het moet dus mogelijk zijn om een structuur te maken die puur uit ruimte bestaat, die je bemerkt in de vorm van een versnelling. Een zwart gat is daarvan een voorbeeld.

Exoburen

Wiskunde is een vorm van taal. Ik geef dit slechts als mening, want ik vermoed dat het niet experimenteel te bewijzen of te ontkennen is. Als ik gelijk heb, is wiskunde waarschijnlijk niet universeel, maar gebonden aan de werking van onze hersenen. Ons begrip van de natuur is verweven met ons taalvermogen. Als wiskunde een taal is, lijkt het hoogst onwaarschijnlijk dat een buitenaardse intelligentie op dezelfde manier wis- en natuurkunde bedrijft als wij, hoewel zij met dezelfde feiten in hetzelfde Heelal te maken hebben.

Hans Freudenthal, bij leven hoogleraar wiskunde te Utrecht en een van de beste docenten die ik ooit heb gehad, was van mening dat wiskunde universeel is. Hij heeft zelfs de op wiskunde gebaseerde taal Lincos ontworpen, verder uitgewerkt door sterrenkundige en informaticus Alexander Ollongren, om te communiceren met buitenaardse beschavingen. (Ik noem ze 'exoburen', omdat het woord 'alien' geen Nederlands is en akelige connotaties heeft.)

Of Freudenthal gelijk had, zal – net als met andere problemen in de wetenschap – moeten blijken uit de waarnemingen, hoewel we daar waarschijnlijk nog heel lang op moeten wachten. Waarbij je je kunt afvragen of het feit dat je geen signalen opvangt, wel een 'waarneming' is. In dit geval moeten we het niet hebben van taal, maar van producten. Als wij van exoburen een radiosignaal opvangen, weten we dat ze iets van natuurkunde hebben gesnapt. Maar van wat zij seinen, begrijpen wij waarschijnlijk helemaal niets.

Vincent Icke is hoogleraar theoretische sterrenkunde aan de Universiteit Leiden, beeldend kunstenaar en publicist.