Wanneer we het hebben over wiskunde als taal voor de natuurkunde wordt vaak een lezing aangehaald die de latere Nobelprijswinnaar Eugene Wigner in mei 1959 gaf in New York: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences. De onredelijke effectiviteit van de wiskunde in de natuurwetenschappen, dus. In die lezing, die later ook als artikel gepubliceerd werd,¹ vroeg Wigner zich af: waarom is de wiskunde eigenlijk zo’n goede taal om onze natuurwetten mee te beschrijven?

Een duidelijk antwoord op die vraag geeft Wigner niet. Zijn belangrijkste boodschap is dat het helemaal niet zo voor de hand ligt dat onze natuur zich laat beschrijven door logica, door getallen, door meetkunde, en door nog heel veel andere wiskundige concepten waarvan een groot deel nooit bedacht is met het doel om de natuur te beschrijven.

Natuurlijk, de wiskundige kiest zijn gereedschap ook op basis van intuïtie die in het leven van alledag is ontstaan. Je kunt wiskunde nooit helemaal los zien van de wereld om ons heen. Je zou bijvoorbeeld kunnen zeggen dat we de natuurlijke getallen hebben ‘uitgevonden’ omdat we overal om ons heen dingen zien die we kunnen tellen. In die zin is het misschien voor de hand liggend dat wat wiskundigen ontdekken precies die wiskunde is waarmee we de natuur kunnen beschrijven. Maar dat is niet de hele verklaring, zo beweert Wigner. Om de toehoorder te doen beseffen dat er wel degelijk sprake is van iets onredelijks in de effectiviteit van de wiskunde, splitst hij het gebruik ervan grofweg op in drie categorieën.

Ten eerste: wiskunde is een beschrijvend gereedschap voor de natuurkundige. We gebruiken getallen, functies en vergelijkingen om verbanden te beschrijven die we in de natuur herkennen. Als dit de enige manier zou zijn waarop wiskunde in de natuurkunde opdook, was er misschien van enige onredelijkheid geen sprake. Maar er is meer aan de hand, aldus Wigner.

Eugene Wigner vroeg zich af: waarom speelt de wiskunde zo'n onredelijk effectieve rol in de natuurwetenschappen? Foto: Oak Ridge National Laboratory, U.S. Dept. of Energy

Ten tweede is het namelijk zo dat dezelfde wiskunde vaak op verschillende plekken in de natuurkunde opduikt. Wigner geeft zelf het voorbeeld van de gaussische verdeling, de statistische verdeling die goed beschrijft hoe allerlei variabelen in de natuur verdeeld zijn: de lengte van een mens, de temperatuur op een gemiddelde zomerdag, de kans om een quantumdeeltje op een bepaalde plek in een harmonische potentiaal aan te treffen. In de formule voor die verdeling komt het getal π voor: de verhouding tussen de diameter en de omtrek van een cirkel. Maar wat hebben lengtes van mensen of temperaturen in de zomer te maken met een cirkel? Het overal en nergens voorkomen van een wiskundig concept zoeenals het getal π zou je beslist ‘onredelijk effectief’ kunnen noemen.

Een derde bijzonderheid die Wigner opmerkt, is eerder een vraag: zou het omgekeerde van wat we hierboven zagen ook kunnen voorkomen? Zou het kunnen dat je met verschillende wiskunde uiteindelijk precies dezelfde natuurkunde kunt beschrijven?

Inmiddels is het meer dan 65 jaar geleden dat Wigner zijn lezing gaf, maar ook vandaag de dag kunnen we ons nog steeds verbazen over hoe effectief de wiskundetaal voor de natuurkunde is. Om Wigners observaties in een moderner jasje te steken, bespreek ik van alle drie zijn observaties een recent natuurkundig voorbeeld.

Of dat voldoende is om de wiskunde ook anno 2026 nog onredelijk effectief te noemen is aan de lezer. Aan de vraag die ook Wigner zelf niet beantwoordt, waaróm die onredelijke effectiviteit bestaat, zal ik me maar helemaal niet branden. Laten we ons vooral verbazen over de schoonheid en elegantie van de natuur, ook als we het waarom daarachter niet helemaal begrijpen.

1. Rekenen in de natuurkunde: resurgence

Vraag een toevallige passant op straat wat wiskunde is, en je zult waarschijnlijk een antwoord krijgen dat vooral gaat over rekenen. Natuurlijk is moderne wiskunde veel meer dan alleen ‘werken met getallen’ – wiskunde beschrijft ook meetkunde, structuren, logica, noem maar op – maar als we het hebben over wiskunde als gereedschap voor de natuurkundige, spelen getallen ook vandaag nog vaak een belangrijke rol. Iets preciezer: we gebruiken als natuurkundigen graag functies – voorschriften die uit een bepaalde getal-input een andere getal-output genereren. Wat is de energie van een bewegende massa als functie van zijn snelheid? Wat is de intensiteit van het licht dat een ster uitzendt als functie van zijn temperatuur?

In de middelbareschoolnatuurkunde kunnen we zulke functies vaak met een exact functievoorschrift opschrijven. De kinetische energie van een bewegende massa wordt als functie van de snelheid geschreven als E = 1/2 mv², een eenvoudige kwadratische functie. En de intensiteit van de straling die een warm voorwerp uitzendt, is volgens de wet van Stefan-Boltzmann bijvoorbeeld een functie van de temperatuur waarin een vierde macht voorkomt: T⁴.

Soms zijn functies echter niet zo eenvoudig. Ook hiervan zien we op de middelbare school al voorbeelden. Als een slinger een hoek θ met zijn evenwichtspositie maakt, hoe groot is dan de horizontale verplaatsing? Het antwoord is geen eenvoudige machtswet zoals in de twee voorbeelden hierboven, maar is evenredig met een andere welbekende functie: de sinus van θ. Omdat die sinusfunctie zo vaak in de wis- en natuurkunde voorkomt, hebben we haar een naam gegeven, maar uitgeschreven in machten (als een zogeheten taylorreeks) is de sinusfunctie helemaal zo eenvoudig nog niet (de hier gegeven uitdrukking voor de sinus gaat ervan uit dat de hoek θ in radialen wordt gemeten):

De reeks gaat oneindig door: er is een term met een negende macht, een term met een elfde macht, enzovoort. Dat alleen oneven machten voorkomen, is overigens een speciale eigenschap van de sinusfunctie. In andere voorbeelden komen álle mogelijke machten voor.

Vriendelijk of lelijk?

Taylorbenaderingen zoals die van de sinusfunctie behoren tot de favoriete gereedschappen van de theoretisch natuurkundige. In tegenstelling tot wat we op de middelbare school zien, zijn functies in de wereld van de onderzoeksnatuurkunde namelijk zelden exact op te schrijven; vaak is het uitrekenen van een taylorbenadering met oneindig veel termen het beste wat we kunnen doen.

De sinusfunctie (dikke zwarte lijn) en taylorbenaderingen van die functie waarin de eerste 1, 3, 5, en 7 termen van de machtreeks zijn meegenomen. Omdat de coëfficiënten in de machtreeks snel afnemen, wordt de benadering al snel een heel goede. Illustratie: Marcel Vonk

Nu is de sinus wat dit betreft nog een heel ‘vriendelijke’ functie: het feit dat de benadering oneindig veel termen bevat, maakt namelijk in zekere zin weinig uit. Welke waarde we ook voor θ invullen, de termen in de reeks zullen uiteindelijk steeds kleiner worden, omdat de coëfficiënten vóór die termen extreem snel afnemen. In de praktijk kunnen we de sinus dus heel goed benaderen door alleen de eerste tien, of honderd, of desnoods duizend, termen op te tellen. Mijn eigen vakgebied, dat van de resurgence, houdt zich bezig met reeksen die níét deze mooie eigenschap hebben. Ook zulke ‘lelijke’ reeksen komen we in de natuurkunde heel vaak tegen – in het bijzonder in de quantumfysica wemelt het ervan. De functies die we daar tegenkomen, kunnen we weliswaar stap voor stap benaderen, maar als we die benaderingen opschrijven, krijgen we uitdrukkingen als

Oftewel: reeksen met coëfficiënten die juist heel snel groeien in plaats van afnemen. De technische term voor zo’n reeks is een asymptotische reeks. Hoe kun je als natuurkundige van zo’n uitdrukking ooit chocola maken? Hoe reken je überhaupt iets uit met dit soort schijnbaar onzinnige rekenvoorschriften?

Cadeautje

Hier komt de wiskundige ons te hulp. In de jaren tachtig bedacht de Franse wiskundige Jean Écalle, zich baserend op werk van Émile Borel van rond de vorige eeuwwisseling, een manier om uit rekenvoorschriften zoals hierboven toch goedgedefinieerde functies te construeren – functies waar je als natuurkundige wél mee kunt rekenen. Écalles reken-toolbox bleek een cadeautje voor de natuurkundewereld, al duurde het enkele decennia voor we dat beseften. Écalle schreef zijn werk namelijk op in een niet heel toegankelijk, meer dan duizend pagina's tellend Franstalig document. Maar toen we het gereedschap eenmaal leerden te gebruiken, ging er een wereld voor ons open: met Écalles wiskunde kunnen we namelijk niet alleen losse functies zoals hierboven beschrijven, maar vaak ook hele families van functies, en alle leden van zo'n familie hebben duidelijke wiskundige, en vaak ook natuurkundige, verbanden. Vandaar ook de naam resurgence, Engels voor 'heropleving' of 'herrijzenis': de wiskunde van de ene functie komt terug, 'herrijst', in die van een hele klasse van gerelateerde functies.

Zelfs in de meest basale toepassing van de wiskunde als taal van de natuurkunde, de beschrijvende toepassing in termen van functies en reeksen, is dus vandaag de dag nog volop ontwikkeling. Wilt u meer over dit specifieke onderwerp weten: in december 2024 schreef ik er voor NVOX een langer artikel over.²

2. Overal toepasbaar: topologie

Even terug naar Wigners lezing. Hij maakt in zijn verhaal duidelijk dat beslist niet álles in de natuur beschreven kan worden met wiskunde. Wiskunde is vooral nuttig als we dynamica willen beschrijven: als we vanuit een bepaalde beginsituatie willen bepalen wat de situatie op een later moment zal zijn. Wat de wiskunde ons meestal niet vertelt, is wat de begintoestand zelf is; die kunnen we als natuurkundige vaak kiezen of construeren.

Toch is de wiskunde ook als het gaat om het beschrijven van een toestand op één bepaald moment niet machteloos. We kunnen de begincondities van een experiment als natuurkundige weliswaar zelf kiezen, maar we kunnen niet altijd álle begincondities kiezen. De ster waarvan ik de evolutie wil bepalen, kan bijvoorbeeld geen begintemperatuur onder de 0 kelvin hebben, en de eis dat T > 0 is duidelijk een als wiskundige ongelijkheid geformuleerde voorwaarde. Algemener: de wiskunde is heel goed in het classificeren van zaken, en daarmee ook vaak in het classificeren van welke toestanden wél en welke níét mogelijk zijn.

Een voorbeeld van zo'n wiskundig classificatiemechanisme is topologie. Topologie is het vakgebied dat zich bezighoudt met vormen, en de vraag welke van die vormen geleidelijk in elkaar veranderd kunnen worden. Het klassieke voorbeeld is dat van een donut en een koffiekop met één oor: beide objecten bevatten één 'gat' en kunnen, zoals in allerlei animaties op het internet te zien is, daardoor geleidelijk in elkaar vervormd worden.

Lcd-schermen en monopolen

Het wiskundige begrip dat hier een rol speelt is dat van continuïteit: een afbeelding van één vorm naar een andere heet continu als punten die op de ene vorm voldoende dicht bij elkaar liggen na de afbeelding op de andere vorm nog steeds dicht bij elkaar liggen. Voor de afbeelding 'vervorm de koffiekop tot een donut' is dat inderdaad het geval. Probeer echter een voetbal in een donut te vervormen, en het zal je niet lukken om dat op zo'n continue manier te doen. Ergens in het proces moet je een gat in de voetbal maken en raken punten die eerst heel dicht bij elkaar lagen dus ver van elkaar verwijderd. Conclusie: de koffiekop en de donut hebben dezelfde topologie; de voetbal en de donut hebben dat niet.

Een koffiekop en een donutvorm kunnen geleidelijk in elkaar vervormd worden. De twee vormen hebben dus dezelfde topologie. Foto: Keenan Crane and Henry Segerman/CC BY-SA 3.0

De wiskunde van de topologie is een prachtig voorbeeld van Wigners tweede punt: het feit dat dezelfde wiskunde op allerlei verschillende plaatsen in de natuur terug kan komen. We gebruiken topologie om de configuraties te beschrijven waarin de vloeibare kristallen in een lcd-scherm kunnen voorkomen, om in het laboratorium materialen te maken die bijvoorbeeld heel goed schokken kunnen absorberen, om te begrijpen waarom we in ons universum wél elektrisch geladen deeltjes tegenkomen maar tot nu toe nooit losse magnetische polen (zogeheten 'monopolen'); enzovoort, enzovoort.

Net zomin als de cirkel in Wigners voorbeeld voor ons gevoel iets te maken heeft met de statistische verdeling van lengtes van mensen of zomerse temperaturen, heeft de wiskunde van continuïteit een helder verband met lcd-schermen, schokdempers of magnetische monopolen – en er is al helemaal geen reden om te verwachten dat al die verschillende natuurkundige onderwerpen iets met elkáár te maken hebben. De wiskunde zorgt voor de verbinding, en wie één stuk wiskunde leert, kan vervolgens op allerlei plekken in de natuurkunde aan de slag. Ook tegenwoordig kunnen we die brede toepasbaarheid, in dit geval van de topologie, dus beslist nog onredelijk effectief noemen – en we maken maar al te graag gebruik van die onredelijke effectiviteit.

3. Meerdere beschrijvingen: dualiteiten

Ook Wigners afsluitende vraag, of we dezélfde natuurkunde kunnen beschrijven met verschíllende wiskunde, blijkt vandaag de dag nog relevant – misschien zelfs wel nog relevanter dan in Wigners tijd. De eerlijkheid gebiedt te zeggen dat ik daarbij Wigners oorspronkelijke vraag wel wat ruimer interpreteer dan hij misschien zelf deed.

In zijn lezing noemt Wigner het voorbeeld van de quantumfysica en de relativiteitstheorie. Die theorieën hebben elk hun eigen onderliggende wiskunde, maar die wiskunde is totaal verschillend: quantumfysica maakt gebruik van statistiek, complexe getallen en lineaire algebra; de algemene relativiteitstheorie beschrijft de zwaartekracht aan de hand van meetkunde en tensorrekening. Wigners punt: quantumfysica en zwaartekracht zijn uiteindelijk verschillende aspecten van één natuur, en dus zou je, bij welke wiskundige beschrijving je ook begint, uiteindelijk ook bij de andere uit moeten kunnen komen.

Opvallend genoeg zegt hij hierover: "Tot dusver is het niet mogelijk gebleken om de twee theorieën te verenigen, in die zin dat er geen wiskundige formulering is waarvan beide theorieën een benadering zijn. Alle natuurkundigen geloven dat een vereniging van de twee theorieën mogelijk is en dat we die zullen vinden. Desalniettemin is het ook voorstelbaar dat er geen vereniging van de twee theorieën gevonden kan worden."

Op de rand

Wat Wigner mogelijk nog niet kon bevroeden, is dat het "tot dusver" waarover hij spreekt nog meer dan 65 jaar zou standhouden: ook vandaag de dag kunnen we, ondanks verwoede pogingen, niet met volle overtuiging claimen dat we een werkende wiskundige theorie van de quantumzwaartekracht in ons heelal hebben. Modellen zoals de snaartheorie komen weliswaar een heel eind, maar er zijn nog te veel open vragen, bijvoorbeeld rond de quantumfysica van zwarte gaten, om al echt van een geünificeerde theorie te kunnen spreken.

Toch is Wigners vermoeden in bredere zin wel op een heel verrassende manier uitgekomen. Binnen diezelfde snaartheorie vinden we namelijk allerlei systemen die op heel veel verschillende manieren wiskundig beschreven kunnen worden. Ik heb het dan over de zogeheten dualiteiten.

Soms zijn die dualiteiten meetkundig van aard. Het holografisch principe zegt bijvoorbeeld dat we zwaartekrachtstheorieën in een bepaalde heelalvorm ook kunnen beschrijven met de wiskunde van quantumtheorieën geformuleerd op de 'rand' van dat heelal. Daarbij mag die rand ook best oneindig ver weg liggen, net zoals de tweedimensionale 'hemelbol' die wij zien ook in zekere zin oneindig ver weg ligt in ons driedimensionale heelal.

Een hologram, gemaakt door een piramidevormig stuk doorzichtig plastic op een telefoonscherm te zetten en er van vier kanten een beeld op te projecteren. Net zoals dit hologram er driedimensionaal uitziet terwijl het beeld op het scherm tweedimensionaal is, kun je de informatie over het hele universum volgens de snaartheorie vaak duaal coderen op de lagerdimensionale ‘rand’ van het heelal. Foto: MagzhanArtykov/CC BY-SA 4.0

Levende taal

Andere dualiteiten gaan juist over structuren. De onderliggende wiskundige symmetriestructuur van elektrische ladingen kan bijvoorbeeld soms vervangen worden door de symmetriestructuur die we zouden gebruiken als er magnetische ladingen zouden bestaan; een structuur die wiskundig heel anders in elkaar zit.

Veel van deze recent ontdekte dualiteiten leiden op hun beurt weer tot nieuwe wiskunde. Wiskunde is de taal van de natuurkunde, maar net zoals elke andere taal lééft die taal: de natuurkunde beïnvloedt op haar beurt ook de wiskunde weer. Die ontwikkeling is er vooral een van de laatste halve eeuw; de liefhebber kan er meer over lezen in een boek dat ik recent over dit onderwerp schreef.3 Het zou mij niets verbazen als de wisselwerking tussen natuur- en wiskunde nog allerlei moois voor ons in petto heeft; misschien nog wel veel meer dan Wigner ooit kon vermoeden.

Marcel Vonk is mathematisch fysicus aan de Universiteit van Amsterdam, hoofdredacteur van de populairwetenschappelijke fysicawebsite Quantum Universe, auteur van vier populairwetenschappelijke boeken en in zijn vrije tijd fervent toernooipokeraar.

REFERENTIES

1. Wigner, E. P., The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences. Richard Courant Lecture in Mathematical Sciences Delivered at New York University, May 11, 1959, Communications on Pure and Applied Mathematics 13 (1): 1–14 (1960).
2. Vonk, M., Opnieuw beginnen. Het oplossen vanonoplosbare problemen, NVOX 10, jaargang 49: 58–60 (2024).
3. Vonk, M., Van getal naar heelal. Hoe de wiskunde de natuurkunde vooruithelpt, en omgekeerd, Uitgeverij Spectrum (2024).