Op de snelweg kijken we naar onze snelheidsmeter om te controleren of we risico lopen geflitst te worden. De hardloper houdt met zijn gps-horloge zijn snelheid in de gaten. Bij schaatswedstrijden krijgen we op het beeldscherm te zien met welke indrukwekkende snelheid een schaatsster door de bocht gaat. En de informatieschermen in de trein geven de snelheid weer waarmee de NS ons over de treinrails vervoert.

Snelheid is voor ons iets vanzelfsprekends, maar dat is niet altijd zo geweest. Pas in de veertiende eeuw werden de begrippen snelheid, instantane snelheid en versnelling gedefinieerd, wiskundig uitgewerkt en grafisch weergegeven in diagrammen.

Schijnprobleem

De Griekse filosoof Zeno (circa 490-430 voor Christus) bedacht de volgende paradox. Achilles neemt het in een hardloopwedstrijd op tegen een schildpad. Omdat Achilles harder loopt, geeft hij de schildpad een voorsprong. Volgens Zeno kan Achilles de schildpad dan nooit inhalen. Als Achilles de schildpad bijvoorbeeld 10 meter voorsprong geeft en na de start aankomt op de plek van waar de schildpad is vertrokken, heeft de schildpad zich een stukje verplaatst. Als Achilles ook dat stukje heeft overbrugd, is de schildpad weer een klein stukje verder. Als Achilles dat kleine stukje heeft afgelegd, is de schildpad een nog veel kleiner stukje verder enzovoort.¹

Wat bij deze paradox van Zeno een rol speelt, is het feit dat de Griekse filosofen in die tijd het begrip snelheid, als de verhouding tussen de afgelegde weg en de daarvoor benodigde tijd, niet als zodanig kenden. Bewegingen werden onderling met elkaar vergeleken door óf te kijken naar de afstand die in een bepaalde tijd werd afgelegd, óf naar de tijd die nodig was om een bepaalde afstand te overbruggen.

Met het snelheidsbegrip wordt al snel duidelijk waarom de paradox van Zeno een schijnprobleem is. Stel dat Achilles erg zijn best doet om te winnen en sprint met een snelheid van 10 m/s en de schildpad in een seconde 10 cm aflegt. Dan wordt de schildpad in de tweede seconde van de wedstrijd al ingehaald. Met het begrip snelheid zijn ook de tijd en de plaats te berekenen waar Achilles de schildpad inhaalt, ervan uitgaande dat beide met een constante snelheid rennen. Als de schildpad een voorsprong heeft van 10 meter geldt voor de afgelegde afstand:

Oplossen voor t geeft dan:

Op dat tijdstip haalt Achilles de schildpad in, op 10,1 meter van de start.

Snelheid als intensiteit

Dat dit zo eenvoudig te berekenen is, heeft alles te maken met het natuurkundige begrip snelheid. Dat werd in de veertiende eeuw in Engeland ontwikkeld door de Merton School, ook wel de Oxford Calculators. Deze wiskundigen waren verbonden aan het Merton College in Oxford, dat in de dertiende eeuw gesticht was door Walter de Merton, naar wie het college is vernoemd.

De Merton School introduceerde het onderscheid tussen dynamica en kinematica. Bewegingen konden volgens hen bestudeerd worden door naar de oorzaak te kijken (dynamica) of naar het effect (kinematica). De kinematica werkten zij verder uit met de begrippen ‘snelheid’ en ‘instantane snelheid’, die door hen als kwantitatieve begrippen werden behandeld, hoewel zij daarbij nog steeds uitgingen van de Euclidische traditie dat alleen hoeveelheden van dezelfde grootheid met elkaar konden worden vergeleken. Je kon dus wel tijd met tijd en afstand met afstand, maar geen samengestelde grootheden zoals snelheid met elkaar vergelijken.² Ook voerden zij de begrippen uniforme en niet-uniforme bewegingen in. Tot de niet-uniforme bewegingen behoorde ook de uniform versnelde beweging.

De tombe van Walter de Merton, grootkanselier van Engeland, aartsdiaken van Bath en oprichter van het Oxfordse Merton College, waar in de veertiende eeuw het begrip snelheid werd ontwikkeld. Foto: Giogo/CC BY-SA 4.0.jpg

In die tijd werden bepaalde eigenschappen, zoals bijvoorbeeld warmte, kwaliteiten genoemd. Een kwaliteit kent verschillende manifestaties of intensiteiten. De kwaliteit warmte kan bijvoorbeeld ijskoud, lauw of heet zijn. Beweging is ook een kwaliteit, en de Merton School trok de conclusie dat snelheid de intensiteit van de beweging is. Behalve intensiteit is er ook sprake van hoeveelheid. Bij een grote bak en een kleine bak water met dezelfde temperatuur heeft de kwaliteit ‘warmte’ dezelfde intensiteit, namelijk de temperatuur, maar de hoeveelheid warmte is verschillend. Zo ook bij de kwaliteit ‘beweging’: de intensiteit is de snelheid en de hoeveelheid beweging is wat we tegenwoordig de impuls noemen.

De Merton School ontwikkelde verder de zogenoemde mertonregel: als een voorwerp beweegt met een uniforme versnelling gedurende een bepaalde tijd, dan legt het dezelfde afstand af als wanneer het in datzelfde tijdsinterval met de gemiddelde snelheid zou bewegen.²˒³

Grafische combinatie

De resultaten van de Merton School gebruikte de Franse geestelijke en filosoof Nicole Oresme (circa 1323-1382), verbonden aan de Universiteit van Parijs, voor zijn meetkundige representatie van bewegingen. Oresme bekleedde in Frankrijk diverse kerkelijke functies en werd in 1377 bisschop van Lisieux. Hij was een van de weinige theologen die tegelijk ook natuurfilosoof en wiskundige was. Als wiskundige was hij daarom in staat om het werk van de Merton School tot zich te nemen en daar zijn eigen uitwerking aan te geven.⁴

De Franse geestelijke, natuurfilosoof en wiskundige Nicole Oresme bedacht een voorloper van de snelheid-tijdgrafiek, maar gebruikte nog geen coördinaten; die werden pas door René Descartes geïntroduceerd. Illustratie: Traité de l’espère, publiek domein

Oresme begon met de vraag hoe de intensiteit van een kwaliteit grafisch weergegeven kan worden. In het verleden waren al horizontale lijnen gebruikt om hoeveelheden en intensiteiten uit te drukken: door Aristoteles om tijdsverschillen weer te geven en door Euclides om getallen in grootte te ordenen (de getallenlijn). Intensiteiten op zo'n lijn kunnen als volgt worden weergegeven:

De intensiteit van AC is twee keer zo groot als de intensiteit van AB, aangezien de lengte van lijnstuk AC twee keer de lengte van lijnstuk AB is.

Oresme was bekend met deze eendimensionale representatie. De belangrijke stap die hij nam, was om er een tweedimensionale weergave van te maken: een horizontale en een verticale richting. Als voorbeeld een metalen staaf die aan één uiteinde wordt verwarmd, waarbij de warmte zich gelijkmatig over de staaf verdeelt.

De warmte verspreidt zich gelijkmatig over een staaf die aan één uiteinde wordt verhit. De doorgetrokken lijn toont de afname van de temperatuur.

De schuine, doorgetrokken lijn stelt de temperatuur voor die geleidelijk afneemt over de lengte van de staaf. Wat Oresme deed, was de intensiteit (in dit geval de temperatuur) overdragen op de verticale lijn, zodat er een grafische combinatie ontstaat tussen horizontaal de kwaliteit (de verdeling van de warmte over de staaf) en verticaal de intensiteit (in dit geval de temperatuur).

De horizontale as geeft het verloop van de kwaliteit weer (de warmte van de staaf), de verticale as het verloop van de intensiteit (de temperatuur).

Onderbouwde regels

De volgende stap van Oresme was om deze meetkundige weergave toe te passen op de beweging. De vraag was daarbij welke kwaliteit er op de horizontale lijn moest komen. Een voorwerp in beweging heeft geen snelheidsverdeling, zoals de verdeling van de warmte over de staaf. Hoe kan de intensiteit, de snelheid, dan wel weergegeven worden?

Oresme loste dit als volgt op: de horizontale lijn is niet het verloop van de kwaliteit beweging, niet het bewegende voorwerp zelf, maar de tijd. De beweging verdeelt zich niet over het voorwerp, maar over de tijd. Gedurende een bepaalde tijd kan de snelheid constant blijven of versnellen. Zo ontstonden bij hem de eerste eenvoudige grafische voorstellingen van bewegingen. Een uniforme beweging zag er bij Oresme uit zo uit:

Een uniforme beweging in de weergave van Nicole Oresme.

De horizontale lijn betekent dat de snelheid gedurende dit tijdsinterval constant blijft. De uniform versnelde beweging gaf Oresme als volgt weer:

Een uniform versnelde beweging in de weergave van Oresme.

De snelheid neemt van links naar rechts over gelijke tijdsintervallen steeds evenveel toe, in overeenstemming met de definitie van een uniform versnelde beweging. Ook ontdekte Oresme hoe je uit de snelheid en de tijd de afstand kunt berekenen door het oppervlak onder de lijn te berekenen. Hij deed dit voor zowel de uniforme als de uniform versnelde beweging.⁴

Twee andere regels die Oresme met zijn grafische methode eenvoudig kon onderbouwen, waren de mertonregel en de afstandsregel. Beide gelden voor uniform versnelde bewegingen vanuit rust. Oresme bewees de mertonregel als volgt:

De gemiddelde snelheidsregel grafisch uitgewerkt door Oresme.

De horizontale lijn snijdt de schuin oplopende lijn precies in het midden, boven het punt waarop de helft van de tijd verstreken is. De gemiddelde snelheidslijn voegt links een driehoekig oppervlak toe en haalt rechts een precies even groot driehoekig oppervlak weg.

De afstandsregel stelt dat de afstand afgelegd in de tweede helft van deze beweging drie keer zo groot is als de afstand afgelegd in de eerste helft van de beweging. Deze regel bewees Oresme opnieuw door oppervlakken met elkaar te vergelijken:

De afstandsregel door Oresme grafisch uitgewerkt.

De witte driehoek links, tot aan de halve tijd, past precies drie keer onder de snelheidslijjn vanaf de halve tijd tot aan de totale tijd. Dat betekent dat de verplaatsing in het tweede gedeelte van de beweging inderdaad drie keer zo groot is als de verplaatsing in het eerste gedeelte.⁵

Coördinatenstelsel

Oresme liet na om coördinaten toe te kennen aan zijn grafisch systeem, zodat hij niet degene was die snelheid-tijdgrafieken ontwikkelde en ook niet tot de samengestelde eenheid van snelheid kwam, wat hij uit zijn grafische weergave wel had kunnen afleiden. Oresme beperkte zichzelf door zijn werk als abstract en puur wiskundig te zien, zonder enige relatie met werkelijke bewegingen en daarop ook niet toepasbaar. Hij was en bleef wat dat betreft een wiskundige.

Een bijkomend probleem was dat men in die tijd niet over de technische mogelijkheden beschikte om snelheden en snelheidsveranderingen nauwkeurig vast te stellen. Als Oresme dat al gewild zou hebben, had hij zijn resultaten niet met de werkelijkheid kunnen vergelijken.

Een coördinatenstelsel zou later door René Descartes (1596-1650) worden bedacht. Het verhaal gaat dat Descartes op het idee van een coördinatenstelsel kwam doordat hij liggend op bed (hij had een zwakke gezondheid en bracht daardoor veel tijd door op en in bed) naar een vlieg op het plafond keek en zich afvroeg hoe je de positie van de vlieg zou kunnen vastleggen.⁶

Descartes was in Leiden bevriend geraakt met Frans van Schooten jr. (1615-1660), hoogleraar wiskunde aan de Universiteit van Leiden. Van Schooten voorzag de werken van Descartes van commentaar, aanvullingen en verbeteringen, en werkte het door Descartes geïntroduceerde coördinatenstelsel uit. Ook vertaalde hij Descartes’ boek La Géométrie uit het Frans naar het Latijn.⁷

Belangrijke rol

Uiteindelijk heeft het begrip snelheid zich na de veertiende eeuw ontwikkeld tot een volwaardige grootheid met bijbehorende eenheid, waardoor het bijna niet voor te stellen is hoe het zou zijn om niet over dat begrip te beschikken. Toch hebben de natuurfilosofen het eeuwenlang zonder moeten doen.

De belangrijke rol van de grafische voorstellingen van snelheid, geïntroduceerd door Oresme, zien we ook terug in het hedendaagse voortgezet onderwijs. Daar worden snelheden en snelheidsveranderingen geïntroduceerd aan de hand van grafieken. Zo leren leerlingen de verplaatsing uit de snelheid-tijdgrafiek te bepalen door het oppervlak onder de grafiek te berekenen, vergelijkbaar met wat Oresme deed, maar nu voorzien van coördinaten. Zo gebruiken docenten en leerlingen, zonder het te weten, een methode die haar oorsprong heeft in de veertiende eeuw.

Klaas Schonenberg verzorgt natuurkundecursussen aan de Volksuniversiteit en is auteur van de boeken 13,8 miljard jaar in een notendop (2024) en Van oermens naar Newton (2026).

REFERENTIES

1. Huggett, N., Zeno's Paradoxes, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Zalta, E.N., Nodelman, U. (red.), (winter 2025).
2. Doorman, M., Maanen, J. van, A Historical Perspective on Teaching and Learning Calculus, Australian Senior Mathematics Journal 22, 2, 4-14 (2008).
3. Lindberg, D.C., The Beginnings of Western Science. 2e druk, Chicago: University of Chicago Press (2007).
4. Grant, E., Nicole Oresme, in: A Companion to Philosophy of the Middle Ages, Oxford: Blackwell Publishing (2002).
5. Sherry, D., On Instantaneous Velocity, History of Philosophy 3, 4, 391-406 (1986).
6. Kuhn, W., Semantic Reference Systems, International Journal of Geographical Information Science, 17, 5: 405-409 (2003).
7. Bissell, C.C., Cartesian Geometry: the Dutch Contribution, The Mathematical Intelligence, 9, 4: 38-44 (1987).